Logique Floue

 

La Logique Binaire

1. Aristote et les ensembles


La logique est une démarche de pensée.
« Logique » vient du grec « logos » : la parole, le verbe et ses balbutiements sont à imputer à un philosophe grec : Aristote. Aristote a consacré sa vie à tenter d’expliquer (et de rationnaliser) la Nature en classant et codifiant tout ce qui la constitue.

« Tous les Hommes sont mortels.
Platon est un Homme.
Donc Platon est mortel.
»

Ce syllogisme bien connu, a formalisé un courant de pensée qui est maintenant tellement ancré en nous que l’on ne parle même plus de logique mais d’évidence. Le concept bivalent du vrai et du faux, du bien et du mal est ainsi apparut et on le retrouve exprimé par les plus grands philosophes comme Descartes pour qui la raison est la « puissance de bien juger, et distinguer le vray d’avec le faux[2] ». Ce n’est qu’à la fin du 19ème siècle qu’un mathématicien du nom de Georg Cantor met en place la théorie des ensembles qui est le support mathématique du concept de vrai et faux.
Concept de la théorie des ensembles
Concept de la théorie des ensembles

Malgré son apparente simplicité, ce schéma résume a lui tout seul la logique aristotélicienne. Cependant, afin de mieux le comprendre et pour approfondir un peu cette logique apparemment si naturelle, un petit résumé sur les ensembles est nécessaire.

2. Rappel theorique sur les ensembles


Le principal postulat à connaître est le principe du tiers exclus qui peut s’énoncer ainsi :
Une propriété (p) ne peut que être vraie ou fausse mais jamais simultanément vraie et fausse.
A partir ce cette simple phrase, on peut construire toute la logique bivalente

On peut traduire ce tableau par : un ensemble ET son contraire n’ont pas d’élément commun et un ensemble OU son contraire forme le tout ; c’est logique.
Tableau de la théorie des Ensembles
Tableau de la théorie des Ensembles

Voila le tableau à partir duquel fonctionne tout ordinateur : Ce sont les opérations logiques de négation, d’union, d’intersection et d’implication. Pour le comprendre il faut le lire à haute voix : si P est vrai et Q vrai ? Le contraire de P est faux, P et Q est vrai, P ou Q est vrai etc.….Ce qu’il faut en retenir, c’est que nous n’avons pas le choix, une propriété est vraie ou fausse ; un ordinateur traduit cela par des 1 ou 0.
Souvent confondues avec la logique et encore plus avec la logique floue, les probabilités ont leurs subtilités qui les différencient bien.

3. C’est Probable


Définition : Une mesure de probabilité P est une application de l’ensemble des événements dans l’intervalle [0,1] qui satisfait aux deux propriétés suivantes :

Ce qui veut dire que si on a deux ensembles distincts (sans élément commun), alors la probabilité de A et B est égal à la somme des probabilités de A et B. De plus :

En somme, la probabilité d’un événement certain est égale à 100%, celle d’un événement impossible est de 0% et, enfin, si un événement a 30% de risque de survenue, il a par là-même 70% de chance de ne pas se produire.

4. Envahie par la logique


Ce bref résumé théorique peut paraître très rébarbatif, mais, il est étonnant de remarquer que toutes ces notions abstraites sont utilisées quotidiennement de façon très concrète. En effet, qui ne s’est jamais posé de question se référant aux calculs de probabilité? Il suffit de jouer aux dés pour appliquer déjà bien plus que ce qui a été exposé précédemment. Que dire alors des courses hippiques ? Les enfants, dès dix ans, aiment, de même, à créer des syllogismes semblables à celui de Platon. L’ordinateur, quant à lui, est une application « sans nulle fantaisie » du tableau de la théorie des ensembles. On peut même dire que la base d’un ordinateur n’est qu’une série de trois opérations basics : ET, OU , NON. Grâce à cela, il calcule additions, soustractions et toutes les combinaisons imaginables. Les systèmes experts en sont l’une des applications les plus prometteuses: Ces programmes permettent de résoudre des problèmes complexes en posant des questions dont les réponses sont simplement oui ou non. Ainsi, un système expert concernant le fonctionnement des véhicules automobiles permettra-t-il de découvrir d’où vient une panne en formulant ainsi ses questions :

_La voiture démarre-t-elle ?
_Si non, le démarreur fonctionne-t-il ?
_Si non, la batterie est-elle branchée correctement ?
_Si oui, alors la batterie est vide.


5. Quand la logique trouve ses limites


Ainsi, la logique paraît innée et servir à chaque instant; cependant, à l’observer de plus près, les enfants n’ont pas cette capacité logique, elle est remplacée par l’intuition. En plus elle ne nous est utile que dans des cas très simples, ne présentant ni contraintes multiples ni caractère bien précis. Un raisonnement de départ basé sur la logique simple, évolue ensuite vers une conception beaucoup plus personnelle : S’expriment alors toute l’originalité de l’être humain, son particularisme et éventuellement tout son génie.
Ainsi, en architecture, la notion d’ensoleillement ou la réalisation d’une esquisse ne répondent pas à une logique parfaite, de même l’estimation de la qualité globale d’un bâtiment.
Et l’homme supporte mal la logique « bête et méchante » d’un ordinateur : Qui n’a jamais perdu patience face à cette pure logique « mécanique » ?
A une échelle humaine, un système expert par exemple appliqué, comme il en existe, à l’analyse d’une maladie, donne le type de réponses suivantes :

_Etes vous malade ?
_Oui (quelle question !)
_Toussez vous ?
_Oui beaucoup.
_Toussez vous OUI ou NON ?
_Oui (pff).
_Avez vous une toux sèche ou grasse ?
_Un peu sèche.
_Avez vous une toux SECHE ou GRASSE ?
_Ben un peu seche !
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On comprendra ainsi que des réponses logiques, limitées à un OUI ou un NON ne correspondent pas toujours lorsqu’il s’agit de circonstances humaines ou lorsque que les données ne sont pas absolues; c’est toute la richesse de notre langage. En effet, pour rendre fine et précise la compréhension de ce que nous exprimons, nous ajoutons des adjectifs qualificatifs (grand, long, fin, mince) ou des adverbes (beaucoup, un peu) qui permettent d’apporter des nuances beaucoup plus subtiles et plus concrètes qu’une simple affirmation ou négation : C’est toute l’échelle des gris qui s’oppose au simple choix du blanc ou du noir.
Ainsi, la logique, créée par et pour l’Homme pour mieux l’aider, trouve-t-elle ses limites au sein des jugements de valeur de ce même Homme.
Quel modèle scientifique peut s’adapter à une pensée complexe qui désire une expression simplifiée ?

[2] René Descartes (1596-1650), dans le Discours de la méthode, première partie